Mengenal Polinomial

Polinomial (suku banyak) 

 Polinom atau suku banyak merupakan bentuk suku-suku yang banyaknya terhingga dan tersusun atas peubah/variable dan konstanta. Operasi yang berlaku pada polinom hanyalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, serta pangkat bilangan bulat tidak negatif.
 Di bawah ini yang termasuk suku banyak:

1. 3x5 – x2 + 10                     (5 suku) 
2. x2 – 5x + 6                         (2 suku) 
3. (2x – 3) 2 (3x – 5x) 3        (5 suku) 

 Dan yang bukan termasuk polinomial:

   Dengan:

     a   = koefisien
   x   = variabel
ax* = konstanta

A. Nilai polinomial

x = 3

1. Teori subsitusi   

  Teori ini terbilang sangat mudah karena, kita hanya perlu memasukan nilai x. Dan bisanya nilai x sudah diketahui. Mudah bukan sekarang kita masuk ke cara subsitusi

         
2 .Teori skema / horner
       
  Teori inipun terbilang mudah karena, cara nyapun sangat mudah yaitu pertama pisahkan terlebih dahulu koefisienya. Lalu simpan diatas sebagai patokan. Setelah itu buat skema horner seperti di bawah ini

       
 

F(x) +  g(x)
F(x)  -  g(x)
F(x)  .  g(x)
F(x)  :  g(x)

Operasi penjumlahan dan pengurangan

f(x)  = 4x3 + 3x2+ 2x - 3
  g(x) = 2x2 _  5x + 1

F(x) + g(x) = (4x3 + 3x2+ 2x  - 3) + (2x2 _ 5x + 1)
                  =  4x3 + 2x2 + 3x2 + 2x – 5x – 3 +1
                   =  4x3 + 5x2 – 3x – 2

F(x) – g(x) = (4x3 + 3x2+ 2x  - 3) - (2x2 _  5x + 1)
                   =  4x3 - 2x2 + 3x2 + 2x + 5x – 3 – 1
                   =  4x3 + 7x – 4

Operasi perkalian


f(x) = x3 + x2 – 4
  g(x) =3 – 2x2 + x + 2


f(x) . g(x) = ( x3 + x2 – 4)(x3 – 2x2 + x + 2)

f(x) . g(x) = x3(x3 – 2x2 + x + 2) + x2(x3 – 2x2
                     + x +2)  – 4(x3 – 2x2 + x + 2)
f(x) . g(x) = x6 – 2x5 + x4 + 2x3 + x5 – 2x4
                     + x3 +2x2 – 4x3 + 8x2 – 4x - 8
f(x) . g(x) = x6 + (-2x5 + x5) + (x4 – 2x4) + (
                     2x3 + x3 – 4x3) + (2x2 + 8x2) –4x -8
f(x) . g(x) = x6 – x5 – x4 – x3 + 10x2 – 4x – 8

ALGORITMA PEMBAGIAN


F(x) = P(x) .  h (x) + s (x)
Keterangan:
   F(x) = fungsi Polinomial
   h(x) = hasil Polinomial
   s(x) = sisa Polinomial

bisa menggunakan 2 cara :
^ Cara besusun
^ Cara skema / Horner


Contoh :
x3 + 7x2 +4 : x-2
Menggunakan cara bersusun :

 Algoritma Pembaginya  :
  x3 + 7x2 +4 = (x-2) . (x2 + 9x + 18) + 40
Pembuktian
  (x-2) . (x2 + 9x + 18) + 40
  X3 + 9x2 + 18x – 2x2 -18x – 36 + 40

  X3 + 7x2 + 18.
Menggunakan cara Horner :

 Algoritma Pembagi :
  x3 + 7x2 +4 = (x-2) . (x2 + 9x + 18) + 40

• Ada 3 Teorema sisa dan 1 Teorema faktor

° Teorema sisa

Teorema 1 :
 jika uku banyak f(x) : x - k maka akan bersisa f(k) atau (f(x))/((x-k))  bersisa              f(k)

Contoh soal :

F(x) = 2x3 + 4x2 -18 : x-3

Cara skema / Horner :

                                    

 Cara bersusun:

                                   

     









Cara subsitusi :
f(k) = 2x3 + 4x2 -18
f(3) = 2(3)3 + 4(3)2 – 18
f(3) = 54 + 36 – 18

f(3) = 72

Teorema 2 :
jika suku banyak f(x) : ax –b maka akan bersisa f(b/a)

Cara skema / Horner :

Contoh pembagian
   f(x) = 2x3 + x2 + x + 10 oleh (2x + 3) 

Cara bersusun :

Teorema 3 :
jika suatu banyak  f(x) : (x-a)(x-b) maka sisanya adalah p(x) + q dimana f(x) =  p(a) + q

Contoh soal :

F(x) = x3 – 2x2 + 3x – 1 : x2 + x – 2

Memfaktorkan (x + 2) (x - 1)

* F (x)  =  x3 – 2x2 + 3x – 1
 F (a)  =  a3 – 2a2 + 3a -1
  F(-2)  =  (-2)3 – 2(-2)2  + 3(-2) -1
   F(-2)  =  -8 – 8 – 6 – 1
  F(-2)  =  –23

* F (x)  =  x3 – 2x2 + 3x – 1
   F (b)  =  b3 – 2b2 + 3b -1
   F (1)  =  (1)3 – 2(1)2  + 3(1) -1
   F (1)  =  1 -2 + 3 - 1
  F (1)  =  1

F (a) = p(a) + q
    F(-2) = p(-2) + q
    F(-2) = -2p + q
    -23    = -2p + q
-2p + q = -23 ... (1)

    F (b) = p(b) + q
F (1) = p(1) + q
F (1) = p + q
1       = p + q
p + q = 1 ... (2)

menggunakan cara Eliminasi :

Metode subsitusi
P + q = 1
8 + q = 1
       q = 1 – 8
       q = -7

Sisa pembagiannya adalah
     Px + q
     8x – 7

Cara bersusun

Teorema Faktor : 
Jika suatu algoritma pembagian di uraikan suatu sisa bernilai 0 Maka itulah faktornya.

F (x) = P(x) . h(x) + s(x)

    x2 – 2x – 3

   (x– 3) ( x+ 1) 

   Pembuktian :

   (x2 – 2x – 3) (x – 3)

    x – 3 atau x + 1 

    x = 3 atau x = 1

    Hp { –1, 3}

Catatan :

 * untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor konstanta dibagi dengan faktor koefisien pangkat tertinggi yang Akan memberikan pangkat 0

* jika jumlah koefisien suku banyak = maka pasti salalah satu akarnya adalah x = 1